Problemas de lógica, matemáticas e ingenio

Especulando con números

Durante una visita a Coll Héctor, me mostró su curiosa colección.

– Mira estos billetes de autobús. Son todos capicúa de seis cifras.
– ¿De donde los has sacado?
– Son billetes que yo mismo he utilizado. Cada vez que viajo en autobús compruebo si el billete tiene numeración capicúa, en cuyo caso lo colecciono. Tengo cinco billetes capicúa.
– Veo que usas mucho el transporte colectivo.
– ¿Adivinas cuantos viajes he tenido que hacer en autobús para poder reunir estos cinco billetes capicúas?
– No lo adivino, pero si que lo deduzco, que es más seguro.

¿Sabrá deducir usted cuantos viajes necesitó hacer nuestro célebre Coll Héctor?

Solución

Habrá realizado aproximadamente unos 5.000 viajes. Veamos por que.

Cada billete posee un número de seis cifras, por lo que existirán 1.000.000 de números posibles numerados desde 000000 hasta 999.999. Ahora calculemos cuantos de ellos son capicúas. La cosa es fácil si tenemos en cuenta que un capicúa de seis cifras se forman mediante un número cualquiera de tres cifras, añadiéndole esas mismas tres cifras en orden inverso, como con espejo. Por ejemplo, tomamos el 572, invertimos las cifras en 275, y ahora juntamos todo obteniendo el 572275, que es un número capicúa de seis cifras. Como existen 1.000 números distintos de tres cifras, numerados del 000 hasta el 999, solo se pueden obtener mil números capicúas de seis cifras. La proporción de números capicúas de seis cifras es de 1.000 entre 1.000.000, es decir, uno entre mil. Para coleccionar 5 billetes capicúa necesitamos cribar 5.000. En general, en numeraciones que usen N cifras, la proporción de capicúas será: 10 elevado a –N/2 si N es par, o de 10 elevado a (1-N)/2 en el caso de N impar.

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